代数：在1545年出版的《大术》一书中，他第一个发表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺公式，也称卡尔丹诺公式（解法的思路来自塔塔利亚，两人因此结怨，争论经年）。书中还记载了四次代数方程的一般解法（由他的学生费拉里发现）。此外，卡尔达诺还最早使用了复数的概念。概率论：卡尔达诺死后发表的《论**博游戏》一书被认为是第一部概率论著作，他对现代概率论有开创之功。卡尔达诺被誉为百科全书式的学者，一生共写了各种类型的文章、书籍200多种。现存的材料就有约7000页。他智力超群，性情孤僻，职业动荡多变，著述鱼龙混杂。除了作为正式职业的著名**生、**学教授、占星术士引起注意外，就他的贡献而言，人们也常把他称为数学家、哲学家、物理学家，或者笼统地称之为科学家。卡尔达诺的数学贡献表现在他对算术和代数的研究。1539年他首次出版了两本算术演讲书，其中较重要的一部是在米兰刊行的《算术实践与个体测量》（practica arithmetice et mensurandi singular**）。书中主要用数值计算来解决实际问题，在一些计算方法、代数变换中显示出较高技巧。当时的代数没有符号，仅靠文字叙述来表示解题过程，称为“文词代数”。对于高于二次的代数方程，一般是没有解决办法的。卡尔达诺在书中列专题论述了多种方程的解法，甚至求得一些特殊三次方程的解。卡尔达诺最重要的数学著作是1545年在纽伦堡出版的《大术》（ars magna）。全名为《大术，或论代数法则》（art** magnae，sive de regul** algebraic** liber unus）。该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法。例如：三、四次代数方程的一般解法；确认高于一次的代数方程多于一个根；已知方程的一个根将原方程降阶；方程的根与系数间的某些关系；利用反复实施代换的方法求得数值方程的近似解；解方程中虚根的使用等等。其中在数学史上较为重要而又颇有争议的是三次代数方程的一般解法。早在1510年左右，波伦亚大学的教授s。del费罗（ferro）就发现了缺少二次项的三次方程x3 px=q(p，q均为正数）的解法，并在逝世之前透露给他的学生a。m。菲奥尔（fior，**）。后来，出生于意大利北部布雷西亚（brescia）的数学教师n。塔尔塔利亚（tartaglia）于1530年得到另一类缺少一次顶的三次方程x3+px2=q(p，q为正数）的解法。1535年，菲奥尔得知塔尔塔利亚会解三次方程后并不相信，就向他提出挑战，要求进行公开竞赛。塔尔塔利亚为此潜心钻研，终于在比赛前得到x3 px=q和x3=px q(p，q为正数）两类方程的解法，从而在比赛时解出了菲奥尔提出的全部30个问题。反之，塔尔塔利亚提出的问题多数导致对方不会解的x3+px2=q类型的方程，因而塔尔塔利亚大获全胜。受此鼓舞，塔尔塔利亚继续研究三次方程的解法，到1541年已发现x3±px2=±q和由此变换而得到的x3±mx=±n(m，n为正数）等多种类型的方程的一般解法。他准备写一本包含这些解法的代数书传于后世，但这一设想被卡尔达诺打乱了。卡尔达诺当时也在研究方程问题，准备写一部关于代数问题的专著。当他得知塔尔塔利亚与菲奥尔竞赛获胜的消息后，便托人打听塔尔塔利亚的方法。1539年又亲自写信讨教，并邀请塔尔塔利亚到米兰。这年3月塔尔塔利亚来到后，卡尔达诺经过当面再三恳求并发誓对此保密，塔尔塔利亚才把他关于方程x3+px=q和x3+q=px的解法写成一首25行诗告诉卡尔达诺。此后，卡尔达诺从各方面详细研究了塔尔塔利亚的解法，并以此为线索，得出各种类型三次方程的解法。他将这些解法收在《大术》中发表出去，同时补充了各种方法的证明。在《大术》第11章“关于一个立方和未知量等于一个数”（de cubo&rebus aequalibus numero，相当于方程x3+px=q）中，卡尔达诺一开始就申明：“费罗约在30年前发现了这一法则并传授给菲奥尔，后者曾与也宣称发现该法则的塔尔塔利亚竞赛。塔尔塔利亚在我的恳求下将方法告诉了我，但没有证明。在这种帮助下，我克服了很大困难找到了证明，现陈述如下…。由此可以看出，卡尔达诺知道费罗早已发现这类方程的解法，或许觉得没有保密的必要，才将它发表出来。虽然卡尔达诺写明了方法的来源，但失信行为仍然激怒了塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在第二年写成的《问题》（quesiti，1546）一书中强烈谴责了卡尔达诺。1547年卡尔达诺的仆人和学生l。费拉里（ferrari）代替主人向塔尔塔利亚进行论战，在近两年的时间里先后通信12封，各自向对方提出31个问题，后又相互指摘对方的解法有误。塔尔塔利亚原想与卡尔达诺本人进行直接辩论，但卡尔达诺却始终没有再与他通信或见面。1548年8月10日，塔尔塔利亚与费拉里在米兰大教堂附近进行了公开交锋。塔尔塔利亚批驳费拉里解答中的错误，而费拉里则强调塔尔塔利亚有一个不能解决的问题。辩论从上午10点持续到晚饭时间，结果不了了之。最后由于《大术》的影响，三次方程的解法还是冠以“卡当公式”或“卡尔达诺公式”流传开来。卡尔达诺在《大术》中借助于几何图形的证明并以方程x3 6x=20为例阐述了解三次方程的方法。《大术》的另一重要成果是在第39章中记载了费拉里发现的四次代数方程的解法。卡尔达诺在《大术》中观察到方程的根与系数的关系以及系数符号的连续性与根的符号间的关系。他还在1539年8月的一封信中讨论了方程的不可约情形，即根是不同的实数，而根的表达式中却出现虚数的情形。后来又在1570年《大术》的一个新版本中加了一节，专门论述三次方程的不可约情形。但他并没有解决这一问题。卡尔达诺在欧洲还是第一个允许二次方程和三次方程负根存在的人，并首次发现三次方程有三个（实）根。这些工作被认为是代数方程理论的早期成果。卡尔达诺还发明了许多机械装置，包括万向轴、组合锁。对流体力学也有贡献。卡尔达诺长期醉心于游戏和**博，掷骰、弈棋、打牌无所不从。他早在1539年的著作中就论及**金分配问题，另外又写成经验之谈式的专著《游戏机遇的学说》（liber de ludo aleae）。这部著作直到1663年才收入在莱顿出版的10卷本卡尔达诺《全集》（opera omnia）中第一次发表。书中给出一些概率论的基本概念和定理，得到所谓“幂定理”（某**重复n次发生的概率）和大数定律。但这些理论发表得较晚，对后世影响不大。卡尔达诺被誉为16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物。他试图将现实中的一切统一在一种体系中，因此除了发表过多学科的文章、专著外，还出版了两部百科全书式的综合性著作《事物之精妙》（de subtilitate libri，21卷，1550）及其补充《世间万物》（de rerum varietate libri，17卷，1557）。书中包括大量力学、机械学、天文学、化学、生物学等自然科学与技术的知识，还有密码术、炼金术以及占星术等内容。其中的一些科学观点与达·芬奇的论述颇为相似，或许卡尔达诺曾受到这位科学和艺术**手稿的启迪。这两部著作仅在16世纪就有十几个版本流传，后来又被译为多种文字，影响深远。1570年卡尔达诺在《论运动、重量等的数字比例》（opus novum de proportionibus numerorum，motuum，ponderum，…）中提出，斜面上支持一个物体所需要的力与斜面的倾角成正比，并以新的方式论述了天平平衡的条件。他设计了许多机械装置，其中著名的有“卡尔达诺悬置”，“卡尔达诺接合”，“卡尔达诺轴”等。他还仔细观测了抛射体的运动，指出这种运动的轨迹类似于抛物线。并由此断言：除天体外，物体不可能有永恒的运动。卡尔达诺是实验物理学的先驱者之一，曾尝试用定量的方法研究物理学。他假设**弹在空气和水中通过的距离反比于它们的密度，然后通过实际测量来确定两者的密度比值。他还在流体动力学中用观察实验的方法得出与当时流行观点相反的结论：流体中高水位比低水位运动的速度快。卡尔达诺还被称为自然哲学家。当时欧洲解释自然界仍采用古希腊的四元学说，即世间万物都是由火、水、土和空气生成的，这四种物质被称为“要素”或“基本元素”。卡尔达诺将四元减为三元，去掉了火，又将四元素所产生的“四种基性”—“热”、“干”、“冷”、“湿”减为两种，只留下“热”和“湿”，并试图用“赞同”和“厌恶”说明自然现象，不过他的“三元”学说和“两种基性”学说影响不大。在地质学方面，卡尔达诺指出山岳的形成是由于流水的腐蚀造成的。他还指出：在陆地上发现的海生物化石表明，该地域是由海底逐渐上升而形成的。他最早提**的循环理论，即下落的雨水汇成小溪流入河中，河水又流入海中，海水受阳光照射蒸发，化为水蒸气形成云，再成为雨水落到地面，如此构成永恒的循环。这些理论对地质学的发展有重要影响。作为著名**生，卡尔达诺不仅精于诊断和开方用**，而且外科手术技艺高超。他还在理论上第一个记载了斑疹伤寒病的治疗方法，并对生理学和心理学的一些问题提出自己的见解。虽然作为**徒和占星术士留下的名声不太好（甚至传说卡尔达诺为了证实他对自己死期占卜的正确而在预言的那天**身亡)，但他的著作在16世纪下半叶及后来被许多学者引用。由此可见，卡尔达诺作为一个科学家的影响是很大的。