排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。⑴加法原理和分类计数法
⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。⒉第一类办法的方法属于集合a1，第二类办法的方法属于集合a2，…，第n类办法的方法属于集合an，那么完成这件事的方法属于集合a1ua2u…uan。⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。⑵乘法原理和分步计数法
⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。⒉合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。二项式定理
(a+b)^n=σ(0->n)c(in)a^(n-i)b^i[3]
通项公式：a_(i+1)=c(in)a^(n-i)b^i
二项式系数：c(in)杨辉三角：右图。两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。系数性质：
⑴和首末两端等距离的系数相等；⑵当二项式指数n是奇数时，中间两项最大且相等；组合数的奇偶
奇偶定义：对组合数c(n,k)(n>=k）：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1，则c(n,k）为偶数；否则为奇数。下面是判定方法：
结论：
对于c(n,k），若n&k=k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。证明：
对于c(n,k），若n&k=k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。证明：
利用数学归纳法：
由c(n,k)=c(n-1,k)+c(n-1,k-1）；对应于杨辉三角：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
⑶当二项式指数n是偶数时，中间一项最大；⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1）；⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n可以验证前面几层及k=0时满足结论，下面证明在c(n-1,k）和c(n-1,k-1)(k>0)满足结论的情况下，
c(n,k）满足结论。1）.假设c(n-1,k）和c(n-1,k-1）为奇数：
则有：（n-1）&k=k;（n-1）&(k-1）=k-1;由于k和k-1的最后一位（在这里的位指的是二进制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
现假设n&k=k。则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k!k，与假设矛盾。所以得n&k!k。2）.假设c(n-1,k）和c(n-1,k-1）为偶数：
则有：（n-1）&k!k;（n-1）&(k-1）!k-1;现假设n&k=k.
则对于k最后一位为1的情况：
此时n最后一位也为1，所以有（n-1）&(k-1）=k-1，与假设矛盾。而对于k最后一位为0的情况：
则k的末尾必有一部分形如：10;代表任意个0。相应的，n对应的部分为：1{*}*;代表0或1。而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则（n-1）&k=k成立，所以n对应部分也应该是10。则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01，所以（n-1）&(k-1）=k-1 成立，与假设矛盾。所以得n&k!k。由1）和2）得出当c(n,k）是偶数时，n&k!k。3）.假设c(n-1,k）为奇数而c(n-1,k-1）为偶数：
则有：（n-1）&k=k;（n-1）&(k-1）!k-1;显然，k的最后一位只能是0，否则由（n-1）&k=k即可推出（n-1）&(k-1）=k-1。所以k的末尾必有一部分形如：10;相应的，n-1的对应部分为：1{*}*;相应的，k-1的对应部分为：01;则若要使得（n-1）&(k-1）!k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为：1{*}*;（不会因为进位变1为0)
所以 n&k=k。4）.假设c(n-1,k）为偶数而c(n-1,k-1）为奇数：
则有：（n-1）&k!k;（n-1）&(k-1）=k-1;分两种情况：
当k-1的最后一位为0时：
则k-1的末尾必有一部分形如：10;相应的，k的对应部分为:11;相应的，n-1的对应部分为:1{*}0;（若为1{*}1，则（n-1）&k=k)
相应的，n的对应部分为:1{*}1;所以n&k=k。当k-1的最后一位为1时：
则k-1的末尾必有一部分形如：01;（前面的0可以是附加上去的）
相应的，k的对应部分为:10;相应的，n-1的对应部分为:01;（若为11，则（n-1）&k=k)
相应的，n的对应部分为:10;所以n&k=k。由3），4）得出当c(n,k）为奇数时，n&k=k。综上，结论得证。难点
⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。例题
【例1】从1、2、3、…、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定，
又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，…，19或2，4，6，8，…，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，a（10,2）*2=90*2，因而本题为180。【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从m到n有多少种不同的走**分析：对实际背景的分析可以逐层深入：
（一）从m到n必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。本题答案为：c（8,3）=56。分析
分析是分类还是分步，是排列还是组合
注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植a，b两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求a，b两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“要求a、b两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：a在第一垄，b有3种选择；第二类：a在第二垄，b有2种选择；第三类：a在第三垄，b有1种选择，
同理a、b位置互换，共12种。【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（a)240(b)180(c)120(d)60
分析：显然本题应分步解决。（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。或分步
⑴从6双中选出一双同色的手套，有c（6,1）=6种方法
⑵从剩下的5双手套中任选两双，有c（5,2）=10种方法
⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有c（2,1）×c（2,1）=4种方法。同样得出共⑴×⑵×⑶=240种。【例5】．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有c（6,2）×c（4,2）×c（2,2）=90种。【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选**分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，c（2,2）×c（5,2）×c（4,4）=10种；第二类：这两个人都去当车工，c（5,4）×c（2,2）×c（4,2）=30种；第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工c（5,4）×c（4,4）=5种。第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，c（2,1）×c（5,3）×c（4,3）=80种；第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，c（2,1）×c（5,3）×c（4,4）=20种；第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，c（5,4）×c（2,1）×c（4,3）=40种；因而共有185种。【例7】现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，有32种方法；抽出的三数含0不含9，有24种方法；抽出的三数含9不含0，有72种方法；抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。因此共有32+24+72+24=152种方法。【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有a（9,9）=362880种停车方法。特殊优先
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。【例9】六人站成一排，求
⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数
⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有a（4,2）=12种；第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，
共a（4,4）=24种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288...