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韩信点兵公式：
aaa 我们首先想想韩信点兵的实际方案。韩信点兵，叫战士按3个一小团，最后剩下a个；同样，5个一团,剩b个；7个一团,剩c个.
(这里用“团”而不用“组”，“队”，因为实际操作时，队伍不一定能排成极接近矩形的形状。能够成了一小撮一小团就行。整个集训中，中间部分的人互相监督，不允许形成指令外的不规范小集团，然后看队伍边缘就可以知道剩余人数了。然后韩信问一下卫士长，队伍人数几多？得到回答后，韩信用答数验算一下除以3,5,7的余数，如果相等，说明结果可能无误。如果不等，可以根据余数的差值，及近期伤亡情况，计算出卫士长所报人数与实际人数的差额，然后修正成实际人数。如果近期没有发生过死伤人数过百(3*5*7的倍数)的战事，而余数相等，则结果必然无误。bbb
下面谈韩信的计算方法。(不重复的应当是105个。韩信点兵，叫战士按3个一小团，最后剩下a个；同样，5个一团,剩b个；7个一团,剩c个.
写成数论术语：人数x,
x=a mod 3=b mod 5=c mod 7
用**剩余定理略加改造(计算起来可能比直接用**剩余定理简洁些,因为有时余数会巧合，特别是余数为0时可以省去一个计算项):
x1=a mod 3=0 mod 5=0 mod 7
x2=0 mod 3=b mod 5=0 mod 7
x3=0 mod 3=0 mod 5=c mod 7
则可取x=x1+x2+x3 mod 3*5*7,即x=x1+x2+x3+105*k.
用**剩余定理则是
x1=1 mod 3=0 mod 5=0 mod 7 即x1=1 mod 3=35k1(5*7的倍数)
x2=0 mod 3=1 mod 5=0 mod 7 即x2=1 mod 5=21k2(3*7的倍数)
x3=0 mod 3=0 mod 5=1 mod 7 即x3=1 mod 7=15k3(3*5的倍数)
则可取x=x1*a+x2*b+x3*c mod 3*5*7,即x=x1+x2+x3+105*k.
很显然可以取x1=70,x2=21,x3=15.
这就是孙子算经上的歌诀的由来。这似乎反映了一个历史事实，像九除法那样，类似韩信点兵的算法，在古人实际计数中曾经广为应用过。由于三，五，七这几个数字较小，并且便于计数，所以成为了一种计数的定式，因此就广为应用，也就有了这样的歌诀吧。我想，用7,9,10这样三个数，在计算上是更好些；但是，在实际操作中还是用3,5,7来便捷些，你说是吗？歌诀是：三人行路七十稀，五树梅花廿一枝(二十一)，七子团圆整半月，除(去)百零五便得知。好记。而里面的机关，就是上面aaa所论。ccc:
显然，a作为3的余数，有0,1,2三种取值(0对应无余数，或者说整除，或者说整倍数的情况)；同理b有5种取值，c有7种，并且互不干涉，共3*5*7=105种。其实，任意数除以105的余数，自然有从0到104共105种取值。ddd:
关于计算，我举个例子：
x=1 mod 3=2 mod 5=3 mod 7或作
x=
1 mod 3
2 mod 5
3 mod 7
显然，
x=1*70+2*21+3*15 mod 105.关键是，这个计算有巧法，并且从来没有被揭示过。其实很简单。我写成下面的形式，由于打字不便，比我在草稿纸上的书写其实还繁很多，但可以看出精髓所在。x=
1*2@3(注意*和@中间的那个2,是5*7*@1 mod 3的解)
2*1@5
3*1@7
1@3
2@5
3@7
1@15
3@7
7+45=52
这里的奥秘，便是将
x=2a*5*7+3*b*7+3*5*c mod 3*5*7写成了类似矩阵的记号：
x=
a*2@3
b*1@5
c*1@7
并且利用了子项对后面的模可以取余的性质及各个行地位对等，可以进行巧妙的简化计算和任意视需要更改计算顺序以达到较小的数值。在草稿纸上，可以写得很简洁；可以省去*1；可以配合心算，很快的求解和计算同余式。类似的习题解答，及本例的其它解法，及利用洪伯阳的同余式记法作更简洁的一站式同余式解法描述，我写到了我的最新博文《韩信点兵公式-再次详说**剩余定理》中，供参考。这里只说了模为3,5,7的情况；其实，对于任意模，又有什么不可以应用的呢？eee
给定x,在excel中利用函数=mod(x,a)给出余数，同理一共得到105组余数a,b,c；再对结果按3,5,7(或7,5,3)分三次进行排序，于是可以检索(方便的有序的查找)
给定一组余数a,b,c，得到相应的数x。我用此思路制作了一个excel文档，给出了对应表。反查亦可。请以如下方式搜索：
韩信点兵计算表
搜到后，免积分下载。欢迎交流指正。谢谢。
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