1.举各种例子，没有说明这种例子具有普遍性。2.对象各有不同，但好像不是什么人都能被称为“美国普通人”吧？比如做个ta的同学举自己教的本科生，其实我觉得上了大学的美国人已经不那么普通了。3.大家似乎把“数学”自动翻译成了“算术”。所以如果在答题中要消除以上三条错误，我觉得就我的水平没法答这个题。这个问题光靠举例是不能完全说明的。我更不能举例我教过的美国本科生来代表普通美国人要知道美国作为全世界最发达的**以及最重视高等教育的**之一，其国民高等教育普及率也只有40%多。不知道知乎的高等教育普及率是多少，应该比美国全国水平是要高不少的，所以你们的眼睛也都not wo**ng。要讨论“数学”水平就更难了，我不是数学专业，没法去评价别人“数学水平”怎么样。但是对于美国的教育我个人还是有一点感触的。以我个人带ta的经历来看，美国本科生最大的问题并不是“数学”或者“算数”水平差，因为这些知识性的东西都是可以容易地通过课堂或者课本就补回来的。比如在带习题课我看他们算傍轴光学弄不清正负号和方向的时候我就“违背教学大纲”在黑板上给他们讲了迪卡尔记号系统，他们的课本上是没有的，我上本科的时候教材上也是没有的，这套系统是我高中搞物理竞赛的时候自己看书学来的，最大好处是这套记号是高度程式化的不会出现符号和方向错误。虽然大部分本科生表示一下难以接受，但是也有聪明的本科生学会了或者记下了这个知识的名字回去查资料自学去了。在国内给本科生带电磁学习题课的时候我给他们讲过一点张量的基础知识帮助他们推导一些关于场微分算子的数学公式，他们生源比美国生源好多了，但是大部分人也是听不懂这部分知识。我还是要说我不担心这个问题，一下子听不懂知识没关系，至少他们可以知道从这个线索去获得这部分知识。你们举例算术也是一样的道理，美国小孩算不出169开根号？等见一遍以后就自然知道等于13了。最大问题是什么？我觉得是思维模式。就是美国的大一学生相比于**的大一学生非常缺乏抽象能力。我先说明这主要表现在什么地方，再讲原因。我看他们习题课坐习题的习惯以及考试卷上答题的习惯基本是这样的：计算过程每一步都不是符号，每一步都是直接代入数字，甚至都不说明这个数字代表什么。每一步算出一个数字后再下一步再代入算一个数字，直到得到最终答案。明明可以用符号做推导后得出简单的最终表达式，5分钟就可以完成的题因为这个习惯得用20分钟才能完成。而且这会导致一个很严重的问题，如果中间过程某个量的值是算不出来的但是最终表达式里各个量的值都可以知道，那么他们这种思维习惯会导致这个题彻底卡死他们的脑袋。这里我得举习题课上的真实的并且我相信大多数人都能看懂的例子来说明问题了：比如计算电动势，可以用磁通量随时间的变化率来计算，磁通量很简单就是磁感应强度与面积的乘积。而面积是由一边有导线滑动的长方形框来决定。这个在**其实就是高中物理课本的题，我想大部分读者都能看懂的，看不懂请举手。有好多学生跑过来问我“how can i know the flux?我说根本不用计算通量而且你也算不了通量因为框是不定型的。相信大部分学理工科的网友稍稍回忆一下高中物理知识都知道这里求面积的变化率只需要知道导线移动的速度就行了，而速度在那个题里是可以从另一些条件算出来的，他们也的确算出来了。但是这么明显的逻辑思维就是过不去。这种思维模式有好的一面比如每一步都可以差有没有算错，也许对工程师来说是个好习惯，但是如果这个思维模式会导致卡在一个不应该卡的地方那么必然是“罪恶”的。我把他们的这个问题归咎于他们接受的中学教育的问题。因为大一学生做不好这点必然是中学教育没有给他们养成良好的习惯，这样基本的思维习惯居然要大学再来培养。我向给他们上课的老师反应了这个问题，那个老师是个印度人，他表示也深有体会但是得让他们慢慢学。我说既然要让他们学会那么就要强迫他们接受一个良好的思维习惯，注意我这里说的是强迫，而不是商量这来。对于一个科学家或者工程师来说，这样的思维习惯导致以后做不好工作将是致命的。当然后来那个老师期末出试卷的时候有一半的题把数字全部去掉，让他们做题，也就是强迫他们改正这点。我其实是比较赞同说**的中学教育是要优于美国的，应试教育虽然说比较无聊遭受很多诟病，但至少能让一个学生学会最基本最重要的东西，而不是用所谓的“创新性素质教育”的幌子来掩盖“实则放羊自生自灭”的教育实质。而“创新”这么虚无飘渺的东西，我作为一名科研工作者尚说不清如何培养创新性，也不知道某些没有从事科研工作的人为什么会这么有底气地整天追求所谓“创新”。那些人真的知道什么是“创新”，怎么“创新”吗？由于我所处的美国大学综合排名比较差所以本科生生源比较差，而且作为州内flagcampus对州内学生有招生倾斜，更加降低了生源质量。所以我很像听一听正在harvard念本科的@guuuo viii 是怎么看待这个问题以及他观察的美国本科生情况的。网友匿名用户对[李遥岑]美国普通人的数学到底差到何种地步？给出的答复：我本身是第一次用这个账户写一些体会，请孙老师和诸位多执教。简单说一下我念书的时候做ta的经验吧，我做过本系三门课的ta，一门是real analys**，一门是基础代数数论，还有一门忘了，做的是coordinator。我想先以real analys**为例会比较好一些。当时经济状况比较好，没有发生危机，因此数学系学生没有现在那么多，资质水平也比较好、齐整。我念书的学校里任real analys**这门课的老师是那时做micro-support的，讲课基本上照着讲义念，在黑板上做点例子，并不太完整，其余的活基本由ta来回答。ta需要和学生约时间，改学生作业。我一直想不明白的是外国学生老喜欢约在下午5-6点这段，然后其他同学都去吃饭了我还得在study hall那等待约好的学生。因此我现在固执地把office hour定在11:00-15:00。在这间综合排名50内的学校，学生素质不错，但是确实如余旷先生所讲的那样，对一些比较基本的概念不太熟悉：例如递增集列，de morgan律啊。印象比较深刻的是，我甚至专门做了纸片教器解说pigeonhole's principle。(教授本人assumed that everyone has necessary skills from set theory，因而学生基础全部由ta来补。虽然基础不一定很好，但是他们接受起来都比较迅速。而且并不是只有国内学生才会用功，有位美国女生，学期结束的时候把royden那本书大部分的题目都写了一遍给我（注1）。后来我给任课教授谈了一下，然后教授说he himself学生时**birkhoff刷了2、3遍and it's no big deal。我不晓得她是不是抄的，但是相反，我在国内念书的时候，很多同学是连作业也不会完成的。刻苦用功并不是说不能超越天才，只是需要更努力一些，这并不是什么“心灵鸡汤”。我不晓得为何知乎网上的一些帖子有这样多的“唯上智与下愚不移”的社会进化论思想，这在60年代到80年代的美国学界和欧洲学界就已经被系统批驳过了。sharon hollander那样的天才固然是有，但并不意味努力没有超越的可能，这一点上我不能同意余先生的意见。至于教授，直到现在摸爬滚打了这么多年，我还是以为他们的水准并不体现在小处，上文提到的任课教授曾经在课堂上证ascoli定理证了好半天，然后下课跟ta的我聊了半天，最后aha'一下，you should provide your thoughts next class!但这并不妨害他发了好多篇很insightful的论文，我自觉不及。基础代数数论(commutative algebra ii)那门课一般面向second year graduate开设，需要先修一个commutative algebra i或者系里课程改革之前的所谓graduate algebra course。由两个教授来上课，一个是emeritus，我简称f；一个是emer的师弟的学生，简称b。第一节次课两个教授都来了，大约有40个学生。然后b感到很兴奋，估计觉得学科振兴有望，马上开始怒讲二次互反律和gauss form的几个应用。然后中间休息的时候呼啦一下走剩15、6个学生。课后b相当无奈，后来ta和系里coordinator找学生聊天，学生才又来了几个，结果那个学期就只20几个人。这一点上倒是各国学生都有的畏难情绪。本校本科生来修研究生课程的学生是有一些的。例如有个美国男生叫robert还是roger的，大三的时候来修上述基础代数数论，和f教授相谈甚欢，后来去了northwestern念phd，现在应该已经进入学界了。那位学生动辄zar**ki第几页，以致于我当时不好意思说，我只念了matsumura就来当ta了。而且程度比较好的学校会设置honor courses，这种honor course在数学的水平大概是大一上rudin的principle，大二上一点smale，大三上lang的algebra前半这样，选课的人并不多，大概10个左右，有时候也有ta。我的adv**or当时开了一门riemannian geometry的honor，我旁听，他第一节课titled manifolds and some examples；第二节课titled forms and derham cohomology；第三节课titled fiber bundles and connections（这是大概的回忆，具体的时间太久远，不清楚了）。两小时内我跟起来都觉得相当困难，更何况本科生？（当然，现在看起来内容上比较粗浅:-)）期末布置一篇berger的论文让学生写感想，然后一大四学生还真的就做了个小结果…虽然当时我觉得他的结果比较幼稚而且有漏洞，但我的adv**or充分发挥了美国人民的优良传统，连接说了几个amazing鼓励该生，这在国内“打基础”的氛围下（注2），我觉得不可能有。但是真正有兴趣的学生大抵如此，现在国内不晓得有没有，我想应该会有。至于为何美国学生鄙视自然科学和数学，paul r.gross在理论上对美国知识界的一些反智倾向做了详尽的探讨，有兴趣的可以读一下他的著作（注3）。所以笼统地说“美国普通人的数学差”，可能是对的；但是“美国人的数学差”，这不仅不是正确的，而且以此嘲笑，便有强烈的biased chauvin**itic倾向，这从我的个人经验和现实中是可以推出来的。注1：royden那本书改版前题目比较少，现在看来刷一遍不太可能。注2：我觉得在这一点上，我和y.t.zhang在北大讲话的观点是一样的。注3：gross的著作和chomsky的著作应当对照来看，我以为里面有些观点是互补的。