爱因斯坦如何导出扩散方程w_t=w_xx?

天上的猩猩 天上的猩猩
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  • 刻骨 刻骨

    扩散方程其实就是热传导方程。这个方程不是爱因斯坦推出来的,热传导方程至少可以 追溯到1800年左右的法国数学家傅里叶,在他那个时代,就已经有人写出热传导方程了。这个方程是一个抛物型的偏微分方程,肯定不是爱因斯坦推导出来的。不过,爱因斯坦与扩散方程是有关系的。因为爱因斯坦曾经研究过布朗运动。布朗运动描述的是单粒子在液体中的扩散,本质上在统计上也满足扩散方程。这布朗运动与扩散方程是等价的,是一个硬币的两个侧面。爱因斯坦在这个基础上研究了所谓的涨落耗散定理,这个是他的一个伟大的贡献。涨落耗散定理的推导过程可以参考黄克孙写的统计力学一类的书。如果你还是很想知道扩散方程是怎么推出来的,我觉得你最好还是去翻翻大学物理系的教材,很多数学物理方程的书里都写了,比如梁昆淼先生的书里就有。当然了,你也可以倒过来思考这个问题—当扩散停止的时候,系统处于稳态,扩散方程变成了拉普拉斯方程。所以这个方程不用推,是可以根据物理直觉写出来的。

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